幼儿数学的学与教

你想要知道教师是怎样使孩子们对数学感兴趣，并且帮助他们学习数学概念和算法吗？下面是关于数学的内容，都以“操作和发现”为宗旨，因为幼儿是在对物体的操作、对环境间关系和模式的发现中学习数学的。数学的意义远不是算术。如果你认为数学对幼儿来说仅局限于1+1=2如此简单的等式，那么在他们玩的时候观察几分钟，你将会知道他们对数学的兴趣所在和所涉及到的数学本身的范围：“你拿的那块饼干比我的大！”“我比你高。”“我的粘土比你的多。”“我有五个便士。”在幼儿园之外，孩子们是数学的思考者。幼儿保持着产生于园中的那些兴趣、热情和好奇，对具有挑战性的事情特别关注。教师们必须做出真正的努力，去帮助孩子更轻松地学习数学（Price，1989）。一、幼儿数学的定义字典上把数学定义为“数字的科学、操作、数字间的相互关系、组合、概括、抽象以及空间的构造、结构、测量、转化和概括”。但是，对幼儿来说，数学是看世界的一种方法，是他们的一种经验，是解决真正问题的一种方法。数学涉及到幼儿对数字、数字的操作、功能、关系、概率、测量的理解，它远不止是我们儿时记忆中做过的那一页页简单的数学等式。随着孩子们的成长，数学活动也随之改变。最小的孩子开始探索、给物体分组和分类、作比较。孩子进入幼儿园后，他们可能有了数学思维、用数学符号记录他们的发现并作标签。在儿童早期，数学应是一种操作性的活动（McCracken，1987）。国家数学教师协会（NCTM，1989）提倡一种课程，此课程提供儿童越过年级水平建构数学概念的机会。“数学应该被看作是一门有帮助的学科，而不是根据儿童是否具有完成（作业）的能力来挑选的一门课程”。二、怎样学数学皮亚杰（1970）描述了人们学习的三种知识：一是学习物理知识――例如“热”“冷”“粗糙”“光滑”等概念；二是学习社会知识――如：“语言”“宗教”“迷信”等概念；三是心理关系的建构――如“计算”“排序”“读数法”“守恒”等概念。皮亚杰称心理关系的建构为逻辑数理学习。这种类型的学习将会成为下面讨论的重点（devoirsandkohlberg，1987；KamiiandDeClark，1985；KamiiandJoseph，1989；皮亚杰1970）。逻辑数理思维要求学习者忽略物体的物理属性，建立物体的种类、层次。例如：如果你手中有三支黄色的木头铅笔，你会观察到它们是用木头做的，是不易弯曲的。这些是物理方面的特点。你不能决定这些特点。然而，一组三支铅笔是一个心理的建构。它们是单独的物体，但是它们形成的三个一组的数概念，这是一种心理的关系。数字3的概念，它不取决于物体的物理属性。你能有三幢房子、三只鲸、三颗芥菜种子等等，总的来说，物体的物理特征（包括大小、形状、颜色、质地、温度）不能决定对数字3的理解；作出这个 决定就是把它们放入了一种关系中。作为学习者，孩子们从他们的经验中概括出某些信息。例如，孩子们学习颜色的名称时，忽略物体的其它属性，而聚集于颜色的属性，皮亚杰（1970）把这称为简单抽象（也被称作经验主义抽象）。虽然理论学家们在简单抽象是怎样获得方面意见不完全一致，但是大多数人认为，以语言获得为例子，儿童从自己的经验中抽取语言运作的规则。然而，逻辑数理概念不能从经验中抽取。例如一个孩子玩三个洋娃娃，他必须思考在洋娃娃中建立的关系；他不可能仅仅摘出数字3的概念，因为这儿是三个洋娃娃。我们知道这是对的，因为虽然我们可能永远不会有与百万、亿、万亿接触的经历，但是我们能想象出这一系列巨大数。我们能用这些术语思考，是因为我们懂得数字系统中按级别排列的性质；就是说，我们懂得百万、亿、万亿是由千、百、十和个组成的。皮亚杰（1970）解释到，我们是通过数理逻辑学习来建构数学思想的，这个过程可称之为“反省的抽象”（refectiveabstraction）。这一过程运行是：学习者操作物体，接着思考结果，这一思考导致心理结构的改组。一旦改组发生，那么对学习者来说，就学会了不同的思考方法。为了说明“反省抽象”的过程，思考下面一个数学理解的例子。大多数幼儿缺乏数量守恒能力。假设给一个幼儿两组完全相同的物体，例如塑料筹码。在一个组中，筹码被排成一排，彼此间挨得很近，几乎互相接触；在另一个组中，每两个筹码间留有很大的空间。观察这两组筹码后，幼儿将会认为，占据更多空间的那组有更多的筹码。经历多种排列操作和思考，孩子将会知道，物体的安排与一组物体的数目没有关系。这一观察结果将会使儿童产生一种心理的改组，因此孩子将不再认为物理的形式影响对数学的理解。即使非常小的孩子，也能辨认出小组事物间的数字差别――例如：2块饼干比5块饼干少。皮亚杰（1970）称这为知觉的数字。但是对于比8左右大的数字，知觉就不再可靠，必须建构一个数字系统。这个系统必须以数字间的关系为基础：就是说1包括在2中，2包括在3中等等。一旦孩子建立了这个系统后，就开始能理解数字的操作，例如进行加、减、乘和除法。可以教孩子们2+3=5，但是“不能直接教他们此加法中潜在的关系”（KamiiandDeclark，1985）。学习者必须建构这些关系，而且必须以观察为基础。我们计算物体时，必须按次序安排它们，使得每个物体只被计算一次。建立这个次序是一个心理的操作。例如，当我们按从大到小顺序排列物体时，必须在物体间建立一种关系。学习者也必须建构大小、时间、几何学的概念。在数学应用上，维果斯基（1978）的观点将会督促教师思考孩子们可能会发现什么，并且提供材料和帮助促进这些发现。维果斯基的观点不支持阶梯课程，因为这种课程不能考虑每个儿童的水平上个别差异。我们应接受这种观点，即每个学习者必须在观察真实生活材料和环境的基础上建构数学概念，那么教师的责任是什么呢？一种责任是为儿童正在建构的概念提供语言。一个孩子能发现“5”的概念，就必须给他提供标签“5”。另一种责任是安排环境，提供最能代表某种概念的材料让儿童操作，并提供操作的时间。当儿童全身投入操作时，教师必须通过让儿童积极思考，通过提问启发使他们的心神也投入到操 作中。总之，数学教育必须以学习者对物体的亲身操作为基础，在概念建构接近成功时，就提供数学符号。三、怎样教数学（一）数学教育的目标数学教育的目标包括：1.为孩子提供参加各种活动的机会，这些活动能促进孩子数学概念的发展。2.鼓励孩子运用数学知识解决问题和理解关系。3.帮助孩子发展与身边问题和环境有关的数学概念，反对将数学视为要记忆和重复的东西。4.帮助幼儿建立自信，认为自己能在数学上取得成功。这些是非常广泛的目标，更明确的目标必须通过向孩子介绍计算、测量、分组、加、减和几何等知识来发展其数学能力。如果达到广泛的目标，那么没有孩子会认为他数学不好，成人也知道其答案并不是唯一正确的。（二）教室中的数学由国家数学教师协会为幼儿园到四年级（K―4）建立的课程标准，是建立在以下设想的基础上：1.K―4课程应该是以概念为向导的（conceptuallyoriented）……。2.K―4课程应该使孩子积极地投入到数学中……。3.K―4课程应重视孩子的数学思维和推理能力的发展……。4.K―4课程应重视数学的应用……。5.K―4课程应包括广泛的内容……。6.K―4课程应适当地利用计算器和电脑，并正在利用计算器和电脑。（国家数学教师协会，1989）。在学前教育的教室中，有很多适合国家数学教师协会标准的数学教学机会。例如，教室中的大多数数学着重于发展概念，而不是学习算法。在学前教育教室的一天中，提供给孩子很多问题，这些问题能帮助孩子探索概念：我们画画需要多少张纸？今天这儿有几个男孩？有几个女孩？现在有多少个孩子？今天是这个月的9号，明天是几号？今年我们上了几天学？多少人下次想阅读某本书？开展某个游戏需要多大的空间？通过提问如此问题，教师可向孩子演示数学在真实世界中的应用，并且覆盖了广泛的内容。当孩子用这种方法学习数学时，他们不但将发展思维和推理能力，而且将发展数学概念。如果孩子借助计算器或电脑为这些问题寻找答案，那么通过回答每天在任何教室中提出的数学问题，就能达到所有的标准。Greenberg（1993）阐述了教师的角色，有四个尺度：1.适当材料的获取和管理；捐献物品的管理，创设机会和选择。2.发展基本技能的知识和概念，在发现过程中可能进行教育的瞬间，怎样与孩子交谈，和怎样提出有挑战性的问题。3.儿童的知识及其关系。4.有关此年龄范围内孩子天性的知识――他们的情感需要、社会需要、身体需要和智能需要以及他们的兴趣。孩子需要借用各种各样的策略去回答问题和解决问题。如果教师直接将策略提供给孩子，那么这些策略可能对他们毫无意义。例如：在美术活动开始前片刻，老师设计出问题：为了使每个孩子有一张纸，一共需要多少张纸？一些年龄更小的孩子需要拿到一张纸，把纸给一位同伴，并重复这一程序，直到每个人都有一张纸。其他的人可能通过计算班级中孩子的人数，得到相应的纸张数目。一些孩子能用手指计算出班级里有几个孩子缺席；其他孩子需要计算，并可能不知道怎样发现缺席的人数。根据Schwartz（1995），真正的数学学习，孩子不但能通过学习中心去选择、分发小吃或材料等工作，而且可以用手指完成类似的工作。Kamii和DeClark（1985）引用了一个一年级学生投票的例子。这个班级有24名学生，当第一票选择的是13时，一个孩子说他们不需要为其它的选择再投票了。甚至在听完这个孩子关于已拥有大多数选票的解释后，其他的孩子还是不理解为什么结果是这样，并要求继续投票。相似地，一些孩子能够测量游戏的规格，并找到适当的存储空间；其他孩子必须尝试并出现错误。孩子们处于许多不同的理解能力的水平，他们必须用自己的思维去搞清问题的意义。学前期间的数学计划不应被制定为教育的一个特殊期，而应该是教育整体的一部分。儿童数学的课程，尽可能地将数学整合为主题，但是如果主题不适合有意义的数学的话，那么就应该制定一个数学计划。数学教育也应该是孩子游戏时间的一部分。孩子能用卡片、多米诺或骰子玩游戏，这些东西能帮助幼儿思考数学。在一些社区，这样的游戏材料可能不被接受，且需要教师挖空心思选择其它材料，来鼓励同种思考。孩子在玩耍中对物体进行分组、选择、分类、排序。他们建构一组积木，使用珠子、蜡笔和其它材料。出勤记录和天气图表为数学思考提供了许多机会。当孩子玩“杂货店”或参加烹饪活动时，他们能在有意义的情景中秤重、测量和计算。几乎任何一个课题除学习其它知识以外，都能帮孩子发展数学概念。例如：如果班级正在学习贝壳或叶子，那么分类、排序、画图表、计算和测量将是完整的学习的一部分。Andrews建议，教师在寻找符合国家数学教师协会标准的活动时，象玩水、玩积木和艺术活动都包含数学道理。然而，找到这些活动要求老师比以前对于数学应有更广泛的思考。例如在数学计划中，教日历时，孩子学到有关日历的知识非常少。例如：“今天星期____；昨天是星期____；明天是星期_____”等日期，这些都有重复相似的次序；月：按顺序重复月份。Schwartz（1994）建议，如果日历被用于记录或计划事情，那么它是有用处的。她建议从日计划（时间表）开始，有必要加一个一周计划和一个若干周计划。例如：制定一次田野旅行或教室参观者的时间表，将需要一个一周计划，而持续记录植物发芽或孵鸡蛋，将需要一个若干周计划。教师应该努力思考，怎样使孩子真正地使用日历中的信息，而不仅仅是让他们重复有关概念的单词，因为这些概念的单词对儿童来说毫无意义。数学教育应把重点放在为幼儿提供经验和活动、提出问题指导孩子的思考上。应该鼓励孩子把数学学习视为解决真正的问题，而不仅仅是看作完成计算。Burns和Richardson（1981）已确定算术首先应教什么：“我们首先教算术的抽象过程，接着希望孩子学会用这些过程解决问题……问题的重点必须首先提出来；它是发展算术理解能力和建立计算的需要的开端。”